KeyGum: [電子回路] オペアンプを用いた無安定マルチバイブレータ - (2) RC回路の過渡応答

2011年7月23日土曜日

[電子回路] オペアンプを用いた無安定マルチバイブレータ - (2) RC回路の過渡応答

今回はオペアンプを用いた無安定マルチバイブレータを理解するために、RC直列回路の過渡応答を計算してみます。

上記のような回路図において、キルヒホッフの電流則(KCL)より修正節点方程式を立てる。

節点１について

$i_1 = \frac{1}{R_f}\left [ v_1(t)-v_c(t) \right ]$

$(2.1)$

節点２について

$\frac{1}{R_f}\left [ v_c(t)-v_1(t) \right ] + C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left [ v_c(t)-0 \right ] = 0$

$(2.2)$

ここで $v_1(t)=\begin{cases}0 & (t<0)\\E & (t>0)\end{cases}$ 、つまりt=0で電圧Eの直流電源のスイッチを入れたとする。

$V_c(s) = \mathcal{L}[v_c(t)]$ として、式(2.2)の両辺をラプラス変換すると、^[1]

$\frac{1}{R_f} \left [V_c(s)-\frac{E}{s} \right ] + C \left[sV_c(s)-v_c(0_-) \right ] = 0$

$(2.3)$

これをVc(s)について解くと、

$V_c(s) = \frac{E}{R_fC\cdot s(s+\frac{1}{R_fC})} + \frac{v_c(0_-)}{s+\frac{1}{R_f C}$

$(2.4)$

となり、さらに部分分数展開すると下のようになる。

$V_c(s) = \frac{E}{s}-\frac{E}{s+\frac{1}{R_fC}}+ \frac{v_c(0_-)}{s+\frac{1}{R_f C}}$

$(2.5)$

したがって式(2.5)の両辺を逆ラプラス変換すれば、vc(t)が式(2.6)のように求まる。

$v_c(t) = E\left[1-\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{R_fC}t\right) \right]+v_c(0_-)\mathrm{exp}\left(-\frac{1}{R_fC}t\right)$

$(2.6)$

ここで $v_c(0_-)=0$ としてvc(t)の時間的変化をみると下図のようになる。

次回は「シュミットトリガ回路」です。

注[1] : ちなみにvc(0-)は $v_c(0_-) = \lim_{t\to-0}[v_c(t)]$ 、つまりコンデンサーの両端にかかる電圧の初期値を示している。^

0 件のコメント:

コメントを投稿

登録: コメントの投稿 (Atom)